Et les identités remarquables ? - Corrigé

Énoncé

Soit les matrices  $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$  et  $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ .

1. Calculer  $AB$  et  $BA$ . Ces deux produits sont-ils égaux ?

2. Calculer  $A^2$  et  $B^2$  .

3. Première identité remarquable
    a. Calculer  $C=A+B$  puis  $C^2$ .
    b. Calculer  $A^2+2AB+B^2$ .
    c. A-t-on  $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$  ?

4. Deuxième identité remarquable
    a. Calculer  $D=A-B$  puis  $D^2$ .
    b. Calculer  $A^2-2AB+B^2$ .
    c. A-t-on  $(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$  ?

5. Troisième identité remarquable
    a. Calculer  $DC$ .
    b. Calculer  $A^2-B^2$ .
    c. A-t-on  $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$  ?

Solution
1.  $AB=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$  et  $BA=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$  donc  $AB\ne BA$ .

2.  $A^2=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$  et  $B^2=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$ .

3. Première identité remarquable 
    a. $C=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$ et  $C^2=(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 7& 9\end{array}\right)$ .
    b.  $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}15& 1\\ 8& 10\end{array}\right)$ .

    c. On n'a pas la première identité remarquable.

4. Deuxième identité remarquable
    a. $D=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 1\end{array}\right)$ et  $D^2=(A-B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$ .
    b.  $A^2-2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 0& -2\end{array}\right)$ .
    c. On n'a pas la deuxième identité remarquable.

5. Troisième identité remarquable 
    a. $DC=(A-B)(A+B)=\left(\begin{array}{cc}-2& -6\\ 5& 3\end{array}\right)$ .
    b. $A^2-B^2=\left(\begin{array}{cc}-1& -7\\ 4& 2\end{array}\right)$ .
    c. On n'a pas la troisième identité remarquable.