Et les identités remarquables ? - Corrigé

Énoncé

Soit les matrices  \(A=\begin{pmatrix} 2&-1\\1&2 \end{pmatrix}\)  et  \(B=\begin{pmatrix} 2&1\\0&1 \end{pmatrix}\) .

1. Calculer  \(AB\)  et  \(BA\) . Ces deux produits sont-ils égaux ?

2. Calculer  \(A^2\)  et  \(B^2\)  .

3. Première identité remarquable
    a. Calculer  \(C=A+B\)  puis  \(C^2\) .
    b. Calculer  \(A^2+2AB+B^2\) .
    c. A-t-on  \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)  ?

4. Deuxième identité remarquable
    a. Calculer  \(D=A-B\)  puis  \(D^2\) .
    b. Calculer  \(A^2-2AB+B^2\) .
    c. A-t-on  \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)  ?

5. Troisième identité remarquable
    a. Calculer  \(DC\) .
    b. Calculer  \(A^2-B^2\) .
    c. A-t-on  \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)  ?

Solution
1.  \(AB=\begin{pmatrix} 4&1\\2&3 \end{pmatrix}\)  et  \(BA=\begin{pmatrix} 5&0\\1&2 \end{pmatrix}\)  donc  \(AB\neq{BA}\) .

2.  \(A^2=\begin{pmatrix} 3&-4\\4&3 \end{pmatrix}\)  et  \(B^2=\begin{pmatrix} 4&3\\0&1 \end{pmatrix}\) .

3. Première identité remarquable 
    a. \(C=\begin{pmatrix} 4&0\\1&3 \end{pmatrix}\) et  \(C^2=(A+B)^2=\begin{pmatrix} 16&0\\7&9 \end{pmatrix}\) .
    b.  \(A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix} 15&1\\8&10 \end{pmatrix}\) .

    c. On n'a pas la première identité remarquable.

4. Deuxième identité remarquable
    a. \(D=\begin{pmatrix} 0&-2\\1&1 \end{pmatrix}\) et  \(D^2=(A-B)^2=\begin{pmatrix} -2&-2\\1&-1 \end{pmatrix}\) .
    b.  \(A^2-2AB+B^2=\begin{pmatrix} -1&-3\\0&-2 \end{pmatrix}\) .
    c. On n'a pas la deuxième identité remarquable.

5. Troisième identité remarquable 
    a. \(DC=(A-B)(A+B)=\begin{pmatrix} -2&-6\\5&3 \end{pmatrix}\) .
    b. \(A^2-B^2=\begin{pmatrix} -1&-7\\4&2 \end{pmatrix}\) .
    c. On n'a pas la troisième identité remarquable.